(n + 5) divise-t-il (n + 9) ? - Corrigé

Énoncé

Déterminer l'ensemble des entiers relatifs \(n\) tels que \(n+5\) divise \(n+9\) .

Solution

Soit \(n \in \mathbb{Z}\) tel   que \(n+5\) divise \(n+9\) .
Alors \(n\) divise aussi \((n+5)-(n+9)=n+5-n-9=-4\) .
Or \(\mathscr{D}(4)=\left\lbrace -4 \ ; -2 \ ; -1 \ ; 1 \ ; 2 \ ; 4 \right\rbrace\) .

On a six cas à traiter :

• \(n+5=-4 \ \Longleftrightarrow \ n=-9\)  
• \(n+5=-2 \ \Longleftrightarrow \ n=-7\)  
• \(n+5=-1 \ \Longleftrightarrow \ n=-6\)  
• \(n+5=1 \ \Longleftrightarrow \ n=-4\)  
• \(n+5=2 \ \Longleftrightarrow \ n=-3\)  
• \(n+5=4 \ \Longleftrightarrow \ n=-1\)  

et donc \(n \in \left\lbrace -9 \ ; -7 \ ; -6 \ ; -4 \ ; -3 \ ; -1 \right\rbrace\) .

Réciproquement, on récapitule toutes les possibilités dans un tableau :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.1}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n& -9& -7& -6& -4& -3& -1 \\ \hline n+5& -4& -2& -1& 1& 2& 4\\ \hline n+9& 0& 2& 3& 5& 6& 8\\ \hline (n+5) \vert (n+9) \text{ ?}& \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}\\ \hline \end{array}\end{align*}\)  

Finalement, les entiers \(n \in \mathbb{Z}\) tels que \(n+5\) divise \(n+9\) sont exactement \(-9\) , \(-7\) , \(-6\) , \(-4\) , \(-3\) et \(-1\) .