(n + 5) divise-t-il (n + 9) ? - Corrigé

Énoncé

Déterminer l'ensemble des entiers relatifs $n$ tels que $n+5$ divise $n+9$ .

Solution

Soit $n\in \mathbb{Z}$ tel   que $n+5$ divise $n+9$ .
Alors $n$ divise aussi $(n+5)-(n+9)=n+5-n-9=-4$ .
Or $\mathcal{D}(4)=\{-4;-2;-1;1;2;4\}$ .

On a six cas à traiter :

• $n+5=-4⟺n=-9$  
• $n+5=-2⟺n=-7$  
• $n+5=-1⟺n=-6$  
• $n+5=1⟺n=-4$  
• $n+5=2⟺n=-3$  
• $n+5=4⟺n=-1$  

et donc $n\in \{-9;-7;-6;-4;-3;-1\}$ .

Réciproquement, on récapitule toutes les possibilités dans un tableau :

$\begin{array}{r}\begin{array}{|ccccccc|}\hline n& -9& -7& -6& -4& -3& -1\\ n+5& -4& -2& -1& 1& 2& 4\\ n+9& 0& 2& 3& 5& 6& 8\\ (n+5)|(n+9)\text{ ?}& \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}& \text{oui}\\ \hline\end{array}\end{array}$  

Finalement, les entiers $n\in \mathbb{Z}$ tels que $n+5$ divise $n+9$ sont exactement $-9$ , $-7$ , $-6$ , $-4$ , $-3$ et $-1$ .